Räkna ut nollställen: hur räknar man ut symmetrilinjen
Räkna ut nollställen:
Andragradsfunktion formel
Begrepp Övningar I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom och kom fram till att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm som har störst exponent. Har ett polynom gradtalet 2, så kallar vi det ett andragradspolynom. En ekvation vars ena led utgörs av ett andragradspolynom och vars andra led är lika med noll kallar vi en andragradsekvation. Det här är en mycket viktig typ av ekvation som förekommer i många olika sammanhang och därför ska vi ägna det här och efterföljande avsnitt åt att närmare undersöka just andragradsekvationer. Som vanligt skriver vi inte ut 1 när ettan står framför ett x. Det är alltså en funktion, där själva funktionsuttrycket utgörs av ett andragradspolynom. Det är inte alltid så att en andragradsekvation som vi träffar på står i just denna form från början, men för att vara en andragradsekvation ska vi kunna skriva om den så att den står enligt den här formen. Till exempel förekommer det att det inte står 0 i det högra ledet, utan till exempel en konstantterm.
Hur räknar man ut maximipunkt
Beräkna en andragradsfunktions största eller minsta värde Andragradsfunktioner Exempel på andragradsfunktioner är funktioner, som beskrivs av sambanden och , där c är en konstant. Om vi ritar upp andragradsfunktionen så ser den ut såhär: Andragradsfunktioners grafer kallas parabler. Man säger att grafen till en andragradsfunktion alltid är symmetrisk kring en lodrät linje som då kallas symmetrilinjen är i detta fall y-axeln. Grafen löper på vardera sida om symmetrilinjen och de båda sidorna är varandras spegelbild dvs. Talen är motsatta y-värden då den är symmetrisk kring y-axeln t. I de fall då funktionen är symmetrisk kring x-axeln talar man om motsatta x-värden. Grafen illustrerar en positiv andragradsfunktion , alla positiva andragradsfunktioner ser ut såhär, alltså att deras öppning är vänd uppåt. Punkten där kurvan vänder kallas vertex och är för positiva andragradsfunktioner den lägsta punkten på hela kurvan. I och med detta har den det minsta värdet som funktionen kan anta och kallas därför minimipunkt.
Andragradsekvationer
Den skulle dock kunna ha komplexa lösningar. En andragradsfunktion som saknar nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan. Detta inträffar när du får ett negativt tal under rottecknet när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln. Med andra ord, då diskriminanten är negativ. Exempel 2 Ange en andragradsfunktionen som inte har något nollställe. Därmed saknar funktionen nollställen. En andragradsfunktion som endast har ett nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan. Detta inträffar när talet under rottecknet är lika med noll när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln. Eller med andra ord, då diskriminanten är lika med noll. En andragradsfunktion med två nollställen En funktion vars graf skär x-axeln två gånger, har två nollställen. En andragradsfunktion som har två nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan. Detta inträffar när du får ett positivt tal under rottecknet när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.
Bestämma nollställen utan graf?
Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel. I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis. En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform. Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Hur gör jag för att hitta nollställena? Är grafen given kan vi läsa av nollställena. Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Vilken annan punkt ska jag välja? Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen.